Solution for Question 8 : IES Conventional 1998 : Electronics & Telecommunication Engineering : Paper II

Q.8. (a): For (6,3) systematic linear block code, the three parity-check bits C4, C5 and C6 are formed from the following equation  C4 = d1 ⊕ d3 ; C5 =  d1 ⊕ d2 ⊕ d3; C6 = d1 ⊕ d2

             (i)    Write the generator matrix G.
             (ii)   Construct all possible code words.
             (iii)  If the received work is 010111 find the location of the error and the transmitted data bits. 

Solution:

(i) The Generator matrix G as defined below -

       |  1    0    0    1    1    1  |
G =  |  0    1    0    0    1    1  |
       |  0    0    1    1    1    0  |

Also,     
       |  1    1    1  |
       |  0    1    1  |
H' = |  1    1    0  |
       |  1    0    0  |
       |  0    1    0  |
       |  0    0    1  |

(ii) Now, all possible code-words are -
C = dG
here,
                  d                                   G                                            C
         |  1    1    1  |                                                     |  1    1    1    0    1    0  |
         |  1    1    0  |                                                     |  1    1    0    1    0    0  |
         |  1    0    1  |     |  1    0    0    1    1    1  |        |  1    0    1    0    0    1  |
         |  1    0    0  |     |  0    1    0    0    1    1  |  =    |  1    0    0    1    1    1  |
         |  0    1    1  |     |  0    0    1    1    1    0  |        |  0    1    1    1    0    1  |
         |  0    1    0  |                                                     |  0    1    0    0    1    1  |
         |  0    0    1  |                                                     |  0    0    1    1    1    0  |
         |  0    0    0  |                                                     |  0    0    0    0    0    0  |

(iii) to find the location of error, we need to calculate decoding table as S = eH'

                 S                                                                              e
         |  1    1    1  |                                                   |  1    0    0    0    0    0  |
         |  1    1    0  |                                                   |  0    1    0    0    0    0  |
         |  1    0    1  |                                                   |  0    0    1    0    0    0  |
         |  1    0    0  |                                                   |  0    0    0    1    0    0  |
         |  0    1    1  |                                                   |  0    0    0    0    1    0  |
         |  0    1    0  |                                                   |  0    0    0    0    0    1  |
                                                                                  |  0    0    0    0    1    1  |
                                                                                    
here, the received work is 010111, hence to decode this code, we will use  s = rH'

                                                       |  1    1    1  | 
                                                       |  1    1    0  | 
s = rH' =  |  0    1    0    1    1    1|  |  1    0    1  |   =  |  1    0    0  |  
                                                       |  1    0    0  | 
                                                       |  0    1    1  |
                                                       |  0    1    0  |  


we can tabulate all the above codes in following fashion - 
                     
      r          |       s    |          e          |          C         |     d
0 1 0 1 1 1 |  1 0 0  |  0 0 0 1 0 0  |  0 1 0 0 1 1  |  0 1 0





Q.8. (b): Calculate the ratio of circular waveguide cross-sectional area to the rectangular waveguide cross-sectional area assuming that both these waveguides have equal cutoff frequency for the dominant mode, if P11 = 1.841

Solution: For the dominant (TE11) mode in the circular waveguide, we have

λo = 2πr / (Kr) = 2πr / (P11) =  2πr /1.841 = 3.41r

The area of a circle with radius r is given by - 

Ac = πr.r

In the rectangular waveguide, for the TE10  mode -

λo = 2a

If the two cut off wavelengths are to be the same, then

2a = 3.41 r

=> a = 1.705 r

The area of a standard rectangular waveguide is -

Ar = ab = a.a/2 = squr (1.705 r) / 2 = 1.45.r.r

Hence, the ratio of circular waveguide cross-sectional area to the rectangular waveguide cross-sectional area will be -

Ac/Ar = πr.r/1.45.r.r = 2.17